El axioma de elección

El axioma de elección es independiente de los demás axiomas que conforman la teoría de conjuntos ZF, según se deduce del trabajo de Kurt Gödel y Paul Cohen.

Está bien, perfecto, y ¿qué significa que un enunciado A es lógicamente independiente de una serie de enunciados B1,B2,B3...? Pues muy sencillo, que es posible que B1,B2,B3... sean todos verdaderos, simultáneamente mientras que A es falso, de este modo el condicional formado por la conjunción de los enunciados Bi como antecedente y A como consecuente es falso según la tabla de verdad del condicional. (B1^B2^B3...)--->A.

Y ahora un poco más intuitivo:

- La nieve es blanca.
- El mar es salado.
- Hay vida en marte.

Supongamos que hemos demostrado la independencia del tercer enunciado respecto de los otros dos. Pues bien, ¿pensáis que sería totalmente lícito usar en vuestros argumentos el hecho de que hay vida en marte como axioma, solamente porque no entra en contradicción con vuestras otras dos premisas?

Muy superficialmente lo que dice el axioma de elección es que dado un conjunto arbitrario de elementos, siempre va a ser posible escoger un único elemento de este conjunto. Esto se ve claramente en un puñado de canicas; siempre vas a poder escoger una. ¿Pero y en un puñado de tierra? Es más difícil pero seguro que me decís que con la suficiente precisión al final se podrá escoger un solo grano. En realidad en cualquier conjunto numerable, en teoría con la suficiente precisión se podrá escoger un elemento del mismo. Pero, ¿y si la materia fuera continua? Sin saltos, sin espacios...

Hagamos ahora un experimento, construyamos una función de elección teórica para ilustrar este problema:

- Tenemos un robot que cuando le pedimos que elija un objeto del conjunto de los números reales, no tiene ningún problema en darnos un natural, un entero,  o incluso un racional como cociente de enteros. Pero si le pedimos un irracional, se vuelve loco debido a que, ¿cómo nos lo muestra? Decir pi, no es más que un nombre para un límite, decir e, es lo mismo... no podemos sacar de raíz el numero. Nunca vamos a conocer las infinitas cifras de un irracional.

Entonces ¿cómo es posible, que podamos elegir, realmente, cualquier elemento de un conjunto?

En mi humilde opinión, creo que de un conjunto continuo, no es posible escoger siempre un sólo objeto. Solamente quería plantearos mis pensamientos acerca de esto... Por supuesto que sólo es una opinión, sobre los axiomas nada puede decirse en base a otras cosas que no sea la propia imaginación/intuición.

Sentidos

A veces me gusta imaginarme la realidad desde fuera (si es que hay un "fuera") pensando en nuestras propias limitaciones físicas, nuestros sentidos.

Imagina que nunca hubieras podido ver, que jamás en tu vida hubiera entrado la luz en tu cerebro y no hubieras visto absolutamente nada.

Por desgracia hay gente que no necesita imaginar esto, sino que es su realidad. Pero volvamos a nuestro experimento mental; en este caso, si nadie te hubiera hablado de imágenes o de formas, para ti esta manera de percibir la realidad ¡sería un completo desconocido! Es una tarea muy difícil ponerse en el lugar de alguien que nunca ha visto, pero si lo intentáis de verdad, quizá podáis vislumbrar a qué me refiero.

Bueno pues este es un clarísimo ejemplo de como nos condicionan nuestros propios sentidos a la hora de entender el mundo. Si no tuviéramos sentido del oído, ¿acaso no sería nuestra vida bastante diferente? ¿Habéis pensado en cómo habría discurrido nuestra civilización, las consecuencias tan grandes que habría tenido la ausencia de este sentido? Enserio, jamás nos lo habríamos imaginado, percibir ondas en forma de melodías. ¡Qué locura! Pero así es, cada uno de nuestros sentidos es una puerta a la realidad desde una nueva perspectiva. 

Solamente usando nuestra imaginación, podremos siquiera percibir sutilmente qué maravilloso mundo es el que nos brindan las matemáticas... Allá donde nuestros sentidos no llegan, llega nuestro pensamiento. Jamás podríamos ver una canción, ni oír un paisaje. Al menos no literalmente, ya me entendéis...

Hace ya tiempo que te marchaste. Las cosas no suelen moverse del sitio donde se dejaron, a menos que sobre ellas recaiga algún efecto biológico o externo que las haga cambiar. Basta querer recordarlo para que vuelva a existir el momento, perfectamente nítido en la memoria. ¿Qué es más real que un recuerdo? ¿qué es a la vez más irreal que la imaginación? Luego, ¿qué diferencia a un recuerdo de la pura imaginación...? La diferencia es que yo sigo esperándote por si quieres volver... De mis ramas ya se han caído unas cuantas hojas pero aún me queda más tiempo en este mundo que a ti. Guardo en mi corteza momentos que morirán contigo, pues solamente tu los conoces, y yo, lamentablemente no puedo hablar.

Aún cuando te hayas ido, aquí seguirá siendo el sitio donde una vez te sentaste conmigo a pensar, a imaginar, a mirar el cielo y los pájaros, a jugar con los insectos del campo... aquí descubriste muchas cosas que ahora parece que has olvidado. 

No me olvides, porque si lo haces, desapareceré de tus recuerdos y no seré más real que un sueño.

Infancia

No nos fijamos en los detalles. Nos llega información diariamente al cerebro, y cada día que pasa los mismos estímulos que un día nos hicieron abrir la boca de admiración, ya no nos merecen la más leve atención.

Pero muchas veces vuelvo a imaginar como un niño, y me vuelvo a hacer las mismas preguntas ingenuas que solía hacerme entonces. No os penséis que ahora la misma pregunta ya tiene respuesta. Al contrario, ahí sigue la interrogación sobre muchas de ellas. Pero las hemos ignorado, simplemente eso. 

Algún día nos volvemos a encontrar a uno de esos niños curiosos como alguno de nosotros lo fue, y nos viene a preguntar lo mismo que nosotros nos preguntábamos con su edad. Para nuestro asombro, le sonreímos y no somos capaces de darle ahora una respuesta convincente.

La más simple de estas preguntas podría ser... ¿por qué hay niños que no tienen para comer? y ... ¿por qué sin embargo a nosotros nos sobran supermercados?

Deberíamos comprender que aunque hemos crecido, somos aquellos niños que una vez soñaron mundos imposibles, y se preguntaban los porqués de la vida. Como si lo más importante fueran aquellas dudas ingenuas. En realidad lo son.