Os dejo un relato que encontré por internet

La idea clave del teorema de Gödel puede ser explicada con la ayuda de un relato. En un país lejano un grupo de matemáticos que no habían sentido nunca hablar de Gödel se convenció de que existía de veras un procedimiento sistemático para determinar infaliblemente la verdad o falsedad de cualquier proposición sensata, y se propuso demostrarlo. Su procedimiento podía ser ejecutado por una persona, o por un grupo de personas, o por una máquina, o por cualquier combinación de estas tres posibilidades. Nadie sabía con certeza qué combinación hubieran elegido los matemáticos, porque el sistema estaba situado en un gran edificio universitario, bastante parecido a un templo, y la entrada estaba prohibida al público. En todo caso, el sistema viene llamado Tom. Para controlar la habilidad de Tom le venían sometidas complejas aserciones lógicas y matemáticas de todo tipo y, después del tiempo necesario para la elaboración, llegaron puntualmente las respuestas: verdadero, verdadero, falso, verdadero, falso…. No mucho después la fama de Tom se difundió en todo el país. Muchos venían a visitar el laboratorio y aguzaban siempre más el ingenio para formular problemas cada vez más difíciles en la tentativa de poner en dificultad el sistema. Nadie lo logró. La confianza de los matemáticos en la infalibilidad de Tom creció tanto que persuadieron a sus reyes a ofrecer un premio a quienquiera que lograra derrotar su increíble poder analítico. Un día, un viajero que venía de otro país llegó a la universidad con un sobre e pide desafiar a Tom. En el sobre había un pedazo de papel con una proposición para hacerle. La proposición, que podemos indicar con «P» («P» está por «proposición» o por «paradoja»), decía sencillamente: «Tom no puede demostrar que esta proposición es verdadera».

P viene propuesta a Tom. Habían pasado a penas pocos segundos cuando el sistema entró en una especie de convulsión. Después de medio minuto un técnico llegó corriendo del laboratorio con la noticia de que Tom había sido desactivado a causa de problemas técnicos. ¿Qué había ocurrido? Suponemos que Tom tuviera que llegar a la conclusión de que P es verdadero. Esto significaría que la proposición «Tom no puede demostrar que esta proposición es verdadera» habría sido falsificada. Pero si P es falsificada, no puede ser verdadera. Así si Tom contesta «verdadero» a P, habrá alcanzado una conclusión falsa, contradiciendo su ostentada infalibilidad. Entonces Tom no puede contestar «verdadero». Hemos llegado entonces a la conclusión de que P es efectivamente verdadero. Pero al llegar a esta conclusión hemos demostrado que Tom no puede llegar a esta conclusión. Eso significa que nosotros conocemos la verdad de una proposición que Tom no puede demostrar. Ésta es la esencia de la demostración de Gödel: que siempre babrá algunas proposiciones verdaderas que no pueden ser demostradas. El viajero, naturalmente, lo sabía y no tuvo alguna dificultad para construir P y ganar el premio.

Es importante, sin embargo, darse cuenta del hecho de que las limitaciones destacadas por el teorema de Gödel conciernen al mismo método axiomático de demostración lógica y no a una propiedad de las proposiciones que se trata de demostrar (o de refutar). Siempre se puede transformar una proposición verdadera que es indemostrable dentro de un dado sistema de axiomas en un axioma de cualquier sistema extenso. Pero entonces habrá otras proposiciones indemostrables en este sistema extenso, etc.

El teorema de Gödel fue una desoladora parada para el programa formalista, pero la idea de un procedimiento mecánico para indagar las proposiciones matemáticas no fue abandonada completamente. ¿Quizás las proposiciones indecidibles sólo son extrañezas que pueden ser eliminadas por la lógica y por las matemáticas? Si se encontrara un modo para distinguir las proposiciones decidibles de aquellas indecidibles, entonces determinar si una proposición cualquiera perteneciente al primer grupo sea verdadera o falsa incluso podría ser siempre factible. ¿Pero es posible formular un procedimiento sistemático para reconocer de modo infalible las proposiciones indecidibles y eliminarlas? El desafío fue aceptado por Alonzo Church, un colaborador de von Neumann en Princeton, el cual demostró pronto que incluso esta meta más modesta era inalcanzable, al menos en un número determinado de pasos. En otras palabras: se podrían hacer aserciones matemáticas potencialmente verdaderas o falsas, y se podría emprender un procedimiento sistemático para controlar su verdad o falsedad, pero este procedimiento no tendría nunca final: el resultado no podría ser nunca conocido.

El axioma de elección

El axioma de elección es independiente de los demás axiomas que conforman la teoría de conjuntos ZF, según se deduce del trabajo de Kurt Gödel y Paul Cohen.

Está bien, perfecto, y ¿qué significa que un enunciado A es lógicamente independiente de una serie de enunciados B1,B2,B3...? Pues muy sencillo, que es posible que B1,B2,B3... sean todos verdaderos, simultáneamente mientras que A es falso, de este modo el condicional formado por la conjunción de los enunciados Bi como antecedente y A como consecuente es falso según la tabla de verdad del condicional. (B1^B2^B3...)--->A.

Y ahora un poco más intuitivo:

- La nieve es blanca.
- El mar es salado.
- Hay vida en marte.

Supongamos que hemos demostrado la independencia del tercer enunciado respecto de los otros dos. Pues bien, ¿pensáis que sería totalmente lícito usar en vuestros argumentos el hecho de que hay vida en marte como axioma, solamente porque no entra en contradicción con vuestras otras dos premisas?

Muy superficialmente lo que dice el axioma de elección es que dado un conjunto arbitrario de elementos, siempre va a ser posible escoger un único elemento de este conjunto. Esto se ve claramente en un puñado de canicas; siempre vas a poder escoger una. ¿Pero y en un puñado de tierra? Es más difícil pero seguro que me decís que con la suficiente precisión al final se podrá escoger un solo grano. En realidad en cualquier conjunto numerable, en teoría con la suficiente precisión se podrá escoger un elemento del mismo. Pero, ¿y si la materia fuera continua? Sin saltos, sin espacios...

Hagamos ahora un experimento, construyamos una función de elección teórica para ilustrar este problema:

- Tenemos un robot que cuando le pedimos que elija un objeto del conjunto de los números reales, no tiene ningún problema en darnos un natural, un entero,  o incluso un racional como cociente de enteros. Pero si le pedimos un irracional, se vuelve loco debido a que, ¿cómo nos lo muestra? Decir pi, no es más que un nombre para un límite, decir e, es lo mismo... no podemos sacar de raíz el numero. Nunca vamos a conocer las infinitas cifras de un irracional.

Entonces ¿cómo es posible, que podamos elegir, realmente, cualquier elemento de un conjunto?

En mi humilde opinión, creo que de un conjunto continuo, no es posible escoger siempre un sólo objeto. Solamente quería plantearos mis pensamientos acerca de esto... Por supuesto que sólo es una opinión, sobre los axiomas nada puede decirse en base a otras cosas que no sea la propia imaginación/intuición.

Sentidos

A veces me gusta imaginarme la realidad desde fuera (si es que hay un "fuera") pensando en nuestras propias limitaciones físicas, nuestros sentidos.

Imagina que nunca hubieras podido ver, que jamás en tu vida hubiera entrado la luz en tu cerebro y no hubieras visto absolutamente nada.

Por desgracia hay gente que no necesita imaginar esto, sino que es su realidad. Pero volvamos a nuestro experimento mental; en este caso, si nadie te hubiera hablado de imágenes o de formas, para ti esta manera de percibir la realidad ¡sería un completo desconocido! Es una tarea muy difícil ponerse en el lugar de alguien que nunca ha visto, pero si lo intentáis de verdad, quizá podáis vislumbrar a qué me refiero.

Bueno pues este es un clarísimo ejemplo de como nos condicionan nuestros propios sentidos a la hora de entender el mundo. Si no tuviéramos sentido del oído, ¿acaso no sería nuestra vida bastante diferente? ¿Habéis pensado en cómo habría discurrido nuestra civilización, las consecuencias tan grandes que habría tenido la ausencia de este sentido? Enserio, jamás nos lo habríamos imaginado, percibir ondas en forma de melodías. ¡Qué locura! Pero así es, cada uno de nuestros sentidos es una puerta a la realidad desde una nueva perspectiva. 

Solamente usando nuestra imaginación, podremos siquiera percibir sutilmente qué maravilloso mundo es el que nos brindan las matemáticas... Allá donde nuestros sentidos no llegan, llega nuestro pensamiento. Jamás podríamos ver una canción, ni oír un paisaje. Al menos no literalmente, ya me entendéis...

Hace ya tiempo que te marchaste. Las cosas no suelen moverse del sitio donde se dejaron, a menos que sobre ellas recaiga algún efecto biológico o externo que las haga cambiar. Basta querer recordarlo para que vuelva a existir el momento, perfectamente nítido en la memoria. ¿Qué es más real que un recuerdo? ¿qué es a la vez más irreal que la imaginación? Luego, ¿qué diferencia a un recuerdo de la pura imaginación...? La diferencia es que yo sigo esperándote por si quieres volver... De mis ramas ya se han caído unas cuantas hojas pero aún me queda más tiempo en este mundo que a ti. Guardo en mi corteza momentos que morirán contigo, pues solamente tu los conoces, y yo, lamentablemente no puedo hablar.

Aún cuando te hayas ido, aquí seguirá siendo el sitio donde una vez te sentaste conmigo a pensar, a imaginar, a mirar el cielo y los pájaros, a jugar con los insectos del campo... aquí descubriste muchas cosas que ahora parece que has olvidado. 

No me olvides, porque si lo haces, desapareceré de tus recuerdos y no seré más real que un sueño.

Infancia

No nos fijamos en los detalles. Nos llega información diariamente al cerebro, y cada día que pasa los mismos estímulos que un día nos hicieron abrir la boca de admiración, ya no nos merecen la más leve atención.

Pero muchas veces vuelvo a imaginar como un niño, y me vuelvo a hacer las mismas preguntas ingenuas que solía hacerme entonces. No os penséis que ahora la misma pregunta ya tiene respuesta. Al contrario, ahí sigue la interrogación sobre muchas de ellas. Pero las hemos ignorado, simplemente eso. 

Algún día nos volvemos a encontrar a uno de esos niños curiosos como alguno de nosotros lo fue, y nos viene a preguntar lo mismo que nosotros nos preguntábamos con su edad. Para nuestro asombro, le sonreímos y no somos capaces de darle ahora una respuesta convincente.

La más simple de estas preguntas podría ser... ¿por qué hay niños que no tienen para comer? y ... ¿por qué sin embargo a nosotros nos sobran supermercados?

Deberíamos comprender que aunque hemos crecido, somos aquellos niños que una vez soñaron mundos imposibles, y se preguntaban los porqués de la vida. Como si lo más importante fueran aquellas dudas ingenuas. En realidad lo son.

UIMP 2012

Un curso de inglés que ha dado para mucho más que aprender inglés. He conocido a mucha gente, hemos reído y jugado juntos desde el primer día en que nos conocimos. Pillamos todos con muchas ganas esta experiencia y la soltamos con más pena  que gloria...

Os deseo a todos los que os habéis cruzado conmigo en este curso la mejor de las vidas posibles, ha sido un placer haber compartido pedacitos de mí con cada uno de vosotros. Cada gesto, palabra, acción de cada uno que me haya hecho sonreir o simplemente pensar... la guardo para siempre en el cajón de los bonitos recuerdos. Os espero en otra!!

Muchos besos. Atte: Samuel

Brothers in arms

Hoy quiero dejar que esta CANCIÓN en mayúsculas, hable por mí. Escucharla, es un viaje a mi pasado... es un viaje a un lugar solamente accesible desde la memoria, allá donde los demás sólo pueden mirar a través de ti...

These mist covered mountains...

Desesperación

Desesperación es vivir sin objetivos, mirar la vida y preguntarse la razón de ser. Debemos estar ocupados, inmersos en una burbuja de actividad neuronal mínima, de lo contrario nos sentimos vacíos y no podemos acertar a decir qué sentido tiene nuestra propia existencia en la Tierra. Nos hemos creado un laberinto de sublimación de los sentidos del que nos es casi imposible salir. Mientras estamos ahí todo es ¡genial!, perfecto, es entonces cuando lo que no tiene sentido es preguntarse los porqués de la vida. Es esa la condición infrahumana de borrego que a tantas personas les provoca tanto placer. Si en algo tenía razón Nietzsche es en que hay que aspirar al "superhombre" a la elevación del yo por encima de todo acto mundano. Hay que saber vivir, con la mente en el cielo y los pies en la tierra. Conociendo nuestros propios límites, y satisfaciendo la curiosidad innata que posee nuestra especie. Hay que salir y vivir, pasear sin mirar de reojo a las personas simplemente por eso de los modales y las composturas. ¡Saludad a desconocidos!, hablad con gente extraña, pensad en voz alta. Atreveos a soñar despiertos y a saber apreciar la belleza de un animalillo, de una flor, de un paisaje, de una canción, de un olor, de todo aquello que nuestros sentidos y nuestra imaginación nos permitan contemplar. Llega un día en que te mueres, y ya no puedes saltar y decir, ¡¡estoy aquí!! ¡¡Cambiemos el mundo!! NO.El momento es ahora. Concédeme el placer de concebir una utopía aquí mismo, en este mundo criticado por todos y cuidado por tan pocos.

Diálogos

El siguiente escrito es la recreación fantástica de lo que podría haber sido una conversación entre Kurt Gödel y Albert Einstein de vuelta a casa tras salir del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, por lo tanto debe tomarse como tal.



“Albert Einstein y Gödel entablaron una amistad legendaria, compartida en las caminatas que tomaban juntos en el IEA. La naturaleza de sus conversaciones permaneció en el misterio para los otros miembros del Insituto. El economista Oskar Morgenstern recuerda que hacia el final de su vida Einstein le confió que “su propio trabajo ya no importaba mucho, que llegaba al Instituto únicamente para tener el privilegio de caminar a casa junto a Gödel”.”

_Fuente:Wikipedia_



[...]

Einstein: ¿Qué es entonces la verdad?



Gödel: Bueno una palabra que en primera instancia atrapa bastante bien la esencia de este concepto es aquella de “correspondencia”.



E: Hmm correspondencia, ¿correspondencia entre qué?



G: Entre lo que se afirma con las palabras y lo que se percibe con los sentidos. Las palabras ya sean orales o escritas, no son más que representaciones del mundo, siempre y cuando nuestro discurso vaya referido al mismo.



E: Está bien, aunque eso me parece simplificar demasiado. ¿No son acaso palabras las que constituyen la frase: “Devuélveme mi lápiz”? O por ejemplo, ¿qué me dirías si yo afirmo algo no referido al mundo, sino a otro universo ya no perceptible con los sentidos sino sólo imaginable? ¿Acaso allí sería posible hablar de “verdad”?



G: Ciertamente es posible construir frases que no sean la representación de algo, pero esa parte del lenguaje no es a la que me refiero, digamos que estamos en el subconjunto de aquellas construcciones gramaticales catalogables de verdaderas o falsas por su función enunciativa. De esta forma, respondiendo a su segunda observación, también es posible afirmar algo referido no ya al mundo “real” sino a otra posible realidad imaginaria. En este sentido, cabría decir que nuestro mundo real, a efectos del análisis o descripción de la verdad que intentamos hacer, no es más que otro sistema posible con la salvedad de que nos encontramos nosotros también inmersos en él como objetos del mismo.



E: ¿Quiere decir, que no hay necesidad de separar nuestro universo de todos los otros posibles a efectos de describir qué es aquello que designamos por verdad?



G: Esa es la idea.



E: Me parece interesante, pero entonces le vuelvo a preguntar: ¿Qué es la verdad?



Continuará...

Humanos y Máquinas

Hasta ayer tenía la fuerte convicción de que el ser humano es, en algún aspecto difícil de definir, superior a la máquina. Sin embargo tras leer las argumentaciones en favor de este hecho, he comprobado que la mayoría apelan al teorema de incompletitud de gödel. Y lo que dicen es que dado que los sistemas formales son limitados, i.e. no pueden derivarse todas las verdades del sistema por métodos puramente sintácticos, siempre seremos algo más que una máquina que funciona de este modo. Pero es que los métodos que nosotros tenemos para comprobar las limitaciones de un sistema formal, son las mismas que se pueden implementar en una máquina. Al fin y al cabo, el origen de todo es saber si la aritmética es consistente, lo cual ni la máquina ni nosotros lo podemos saber.

Espero esto haga reflexionar a quien lo haya entendido.

Más de lo mismo

La música... ella me relaja, me hace olvidar todo lo demás, ¿que pasaría sino pudiera percibirla con mis oídos? ¿Dejaría de existir? No lo creo. No hacemos más que conocer lo que se nos deja conocer... y sólo podemos hablar de eso mismo. Entonces, ¿qué sentido tiene preguntarse por algo ajeno a los sentidos? Sólo podemos hacerlo real en nuestra imaginación, pero ¿realmente podemos imaginar algo fuera de lo que sentimos? Toda nuestra fantasía está sujeta a historias de sonidos, imágenes, olores y caricias. Si nunca hubiéramos podido tocar una flor, ¿acaso se habría creado en nuestro cerebro la conexión correspondiente para recrearla? Cada día me doy más cuenta de que al final no existen problemas ontológicos, lingüísticos, o epistemológicos... Existen problemas reales, y nosotros modelamos la realidad con nuestro lenguaje, la verdad es una correspondencia entre un universo impuesto y unas proposiciones referentes a él.

Lógica y lenguaje

“La ciencia no puede resolver el misterio definitivo de la Naturaleza, y es porque en último término, nosotros mismos somos parte del misterio que intentamos resolver”. 

Max Planck

Suele hablarse del primer y segundo Wittgenstein por encontrarse en la misma persona dos concepciones distintas acerca de lo que es el lenguaje y la problemática relacionada con él. El primero argumenta que el lenguaje es una captación de la realidad y como tal no tiene sentido hablar sobre algo que no se pueda comprobar empíricamente. Esto es de lo que no se puede hablar. 


En una segunda etapa, Wittgenstein comprende que su definición del lenguaje no es completa, ya que se le escapan usos del lenguaje que no son una representación de nada en concreto, pero que son tan necesarios como los que sí lo hacen.






El primer Wittgenstein, en su intento de definir qué se puede decir con propiedad, habla de la parte del lenguaje que corresponde a la lógica y por ende al razonamiento. El segundo se ocupa de otra tarea ligeramente distinta, ya no sólo trata con enunciados declarativos, sino que intenta analizar al lenguaje en general. Por supuesto se da cuenta de que no todo enunciado expresa algo calificable de verdadero o falso referente al mundo en que vivimos. Sino, más bien comprende que el lenguaje es sólo una herramienta multiusos, refiriéndose a ellos como juegos del lenguaje. 






En mi opinión se puede calificar al lenguaje como aquello que permite la comunicación en todas sus formas, ya sea para afirmar, preguntar, negar u ordenar algo. Son diversas maneras de transmitir un mensaje que hace referencia a objetos del mundo o de nuestra imaginación, susceptibles de ser descritos mediante sus propiedades y relaciones con los demás objetos, los cuales pueden tener su significado en la realidad empírica o en los postulados que previamente habremos aceptado nosotros como significado de los objetos de los que hablamos. 






En último término, sí que se puede hablar de todo, pero siempre y cuando tengamos el suficiente cuidado de saber si tratamos con enunciados declarativos que expresan información y se pueden catalogar de verdaderos o falsos; o simplemente estamos usando el lenguaje en otra de sus formas para expresar algo diferente. Para cada una de estas situaciones será posible una definición del lenguaje distinta. Pero si sólo nos centramos en la parte pura del razonamiento y la argumentación, nada fuera del mundo de las proposiciones y la lógica tiene sentido alguno, así como tampoco existe una verdad absoluta e incondicional. Nosotros explicitamos qué vamos a entender por significado, ya sea una imagen, un sonido, o un símbolo. Podríamos decir por ejemplo que el significado de “coche” es un objeto que tenga cuatro ruedas y cinco puertas, un volante, asientos... etc. y que lo que hace verdadera la proposición “El coche de mi padre es rojo” es el hecho de que si mi padre tiene un objeto que encaja en la definición anterior y además presenta las características descritas por la proposición posterior, entonces se dice que esa proposición es verdadera. Pero es que nosotros mismos hemos establecido que el significado de ser verdadero es ése, y nada más. Así como hemos descrito cada uno de los objetos que intervienen en el enunciado, excepto aquellos que por necesidad sean primitivos y no se pueda dar una definición de ellos de la forma usual. Al fin y al cabo, nosotros mismos somos los únicos capaces de cerrar el contenido de nuestro discurso bajo los objetivos que nos propongamos. No tiene sentido querer ir más allá, he comprendido que se tiene que partir de algún sitio. Hablar por hablar, no lleva a ninguna parte. 






Obviamente, todos vamos a tener esa sensación latente de que la verdad es algo más que eso... Pero en último término, nunca podremos salirnos de nosotros mismos para captar otra verdad que no sea la que nosotros hemos definido de tal cosa. 






Finalmente tenemos pues un lenguaje para expresarnos, llamado por nosotros natural, y otros lenguajes formalizados que intentan captar la parte declarativa de nuestro lenguaje natural para hacer más claras las deducciones y llegar así a verdades, eso sí condicionales, de una forma puramente operativa y siendo estas lo más objetivas posibles. Deja de tener sentido entonces preguntarse qué es verdadero, porque no será más que el resultado de aplicar nuestras propias reglas del juego en que consiste la demostración matemática.