El axioma de elección

El axioma de elección es independiente de los demás axiomas que conforman la teoría de conjuntos ZF, según se deduce del trabajo de Kurt Gödel y Paul Cohen.

Está bien, perfecto, y ¿qué significa que un enunciado A es lógicamente independiente de una serie de enunciados B1,B2,B3...? Pues muy sencillo, que es posible que B1,B2,B3... sean todos verdaderos, simultáneamente mientras que A es falso, de este modo el condicional formado por la conjunción de los enunciados Bi como antecedente y A como consecuente es falso según la tabla de verdad del condicional. (B1^B2^B3...)--->A.

Y ahora un poco más intuitivo:

- La nieve es blanca.
- El mar es salado.
- Hay vida en marte.

Supongamos que hemos demostrado la independencia del tercer enunciado respecto de los otros dos. Pues bien, ¿pensáis que sería totalmente lícito usar en vuestros argumentos el hecho de que hay vida en marte como axioma, solamente porque no entra en contradicción con vuestras otras dos premisas?

Muy superficialmente lo que dice el axioma de elección es que dado un conjunto arbitrario de elementos, siempre va a ser posible escoger un único elemento de este conjunto. Esto se ve claramente en un puñado de canicas; siempre vas a poder escoger una. ¿Pero y en un puñado de tierra? Es más difícil pero seguro que me decís que con la suficiente precisión al final se podrá escoger un solo grano. En realidad en cualquier conjunto numerable, en teoría con la suficiente precisión se podrá escoger un elemento del mismo. Pero, ¿y si la materia fuera continua? Sin saltos, sin espacios...

Hagamos ahora un experimento, construyamos una función de elección teórica para ilustrar este problema:

- Tenemos un robot que cuando le pedimos que elija un objeto del conjunto de los números reales, no tiene ningún problema en darnos un natural, un entero,  o incluso un racional como cociente de enteros. Pero si le pedimos un irracional, se vuelve loco debido a que, ¿cómo nos lo muestra? Decir pi, no es más que un nombre para un límite, decir e, es lo mismo... no podemos sacar de raíz el numero. Nunca vamos a conocer las infinitas cifras de un irracional.

Entonces ¿cómo es posible, que podamos elegir, realmente, cualquier elemento de un conjunto?

En mi humilde opinión, creo que de un conjunto continuo, no es posible escoger siempre un sólo objeto. Solamente quería plantearos mis pensamientos acerca de esto... Por supuesto que sólo es una opinión, sobre los axiomas nada puede decirse en base a otras cosas que no sea la propia imaginación/intuición.